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[科教] 杠杆原理之牛顿第三定律

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发表于 11-21-2016 08:27 AM | 显示全部楼层 |阅读模式

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阿基米德发现杠杆原理之后,曾经发出一句名言:给我一个支点,我能撬动整个地球。那么,阿基米德是怎么证明杠杆原理的呢?他当然不知道牛顿力学,也没有什么力矩的概念。其证明是根据“几何的原理”。大致思路如下,两个重量相等的物体用一个杆子连起来,那么根据对称性,如果支点设在杆子中间,两个重物处于平衡,支点承受的重力是两个重物重量之和。这样进行替换之后,如果一边是一半重量,但臂长是另一端的两倍,应该也能平衡。

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这个证明很巧妙,但似乎不是从静力学的第一原理出发。静力学的第一原理应该是,一个点上总的合力为零,则该点处于静平衡。如下图,杠杆 ab, 支点为 c, a 点受外力 Fa,b点受垂直外力 Fb, c 点支撑力 Nc 。杠杆原理是 ac 的长度乘以 Fa, 等于 bc 的长度乘以 Fb。但从力的平衡,我们似乎 只能得出 Nc = Fa+Fb .

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亚里士多德曾用虚位移的方法证明杠杆原理。他说假设杠杆转动一个角度,那么 a 点的速度 Va与 b 点的速度 Vb的比为 ac 与 bc 的长度比,而根据他的力学,作用等于力乘以速度。平衡情况下,两个作用相等,Fa * Va = Fb * Vb,得出 Fa * ac = Fb * bc 。当今的力学教科书证明杠杆原理与亚里士多德这个证明几乎雷同,但是基于所谓虚功原理。我不得不问,为什么证明杠杆的平衡要用到这些似乎是动力学的概念。按理说,既然杠杆处于平衡状态,只需要利用合力为零的原理即可。

如果杠杆是1维的,我们可以看出上图其实是不可能的。因为,ac 受到一个静力矩,没有任何其他力矩可以抵消这个力矩。所以,要从静力平衡证明杠杆原理,不能假定杠杆为1维,而必须把杠杆看成二维(或三维)空间相互作用、维持相对位置的点阵,有了这个正确思路,就可以着手了。我们列出杠杆上 i 点的力静力平衡方程如下:

上面这个方程里,F,N为向量,F_{j,i} 是j 点对i 的力,它仅仅是说,杠杆上 i 点的力的总和为0 。

有了上面的力平衡方程,要证明杠杆原理,应该只是一个数学问题了。为此,我们在 i 点静力平衡方程两边叉乘改点的位置向量 r_i ,我们有

然后,我们对 i 求和:

注意,Fa, Fb, Nc 项可以被提出来:

但是:

上面用到了牛顿第三定律:

因此,

取 c 点为原点, r_c =0,我们就得到了杠杆原理:

至此,我们仅仅是用到了平衡物体合力为零以及牛顿第三定律就证明了杠杆原理。

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发表于 11-21-2016 12:02 PM | 显示全部楼层
楼主lol帖子好赞~~~
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新米人

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发表于 11-21-2016 07:09 PM | 显示全部楼层
艾美回帖支持!~~~
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