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[科教] 力学教学笔记之坚贞不屈的刚体

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发表于 11-28-2016 08:57 AM | 显示全部楼层 |阅读模式

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力学讲到现在,终于可以讲点新东西了。老是讲质点,烦死我了。终于可以讲讲刚体了。

道生一,一生二,二生三,三生万物。如果说物理是道,那么质点就是一,而刚体就是三,是所有力学的基础。

首先讲讲自由度。什么是自由度?简单地说,力学里的自由度就是描述物体空间状态所需要的变量的数目。

以最简单的质点问题为例。如果质点在一根这直线上运动,那么它就只有一个自由度,与这条直线上某个特定点(参考点,或者原点)的相对距离x(可正可负)。这个位置随时间的变化率x˙,就是该质点的速度 ,速度随时间的变化率x¨,就是加速度。如果这个质点挣脱了锁链,跑到平面上运动,这时候它就有两个自由度了(x,y),同样表征了质点在平面上的位置,相应地也有速度(x˙,y˙)和加速度(x¨,y¨)。当然,这两个自由度也可以用其他坐标系来表示,最常见的是极坐标系。从平面跑到三维空间,就是我们通常所说的质点有三个自由度了(x˙,y˙,z˙),相应的有速度和加速度,同样也可以在柱坐标系、球坐标系或者其他坐标系里表示出来。

位置x和速度x˙描述了质点的所有运动(以后你们会碰到“相空间”的概念,它就是由这两者构成的)。简单地说,牛顿力学的基本精神就是,力决定了加速度x¨,其他更高阶的变化就不需要考虑了——不需要考虑加速度随时间的变化,因为全都归结到“力”了。

比一个质点多的东西就是两个质点了。如果这两个质点没有任何关系,大家各过各的,那就是把质点问题算两遍,没有任何挑战性。如果它们之间有联系,那么最简单的联系就是刚性联系了(中学物理力经常说的轻质刚性细杆),也就是说,这两个质点之间的距离保持不变。那么他们就有5个自由度了:每人3个自由度,这是6个,再减去一个限制(距离保持不变),所以是5个。这时候可以引入“质心”的概念:这两个质点和连接它们的轻质刚性细杆,构成了一个杠杆,杠杆的支点就是质心的位置,把质点选在质心,杠杆就有保持平衡。可以用另一种方法来描述这个双质点系统:质心有3个自由度,轻质刚性细杆的取向有2个自由度,就像地球上经度和纬度这两个自由度一样。


比两个质点更复杂的就是三个质点了。用轻质刚性细杆连接的三个质点,只有6个自由度:两个质点是5个,增加了一个质点,多了3个自由度,但同时也多了两个限制条件,所以再减去2,总共就是6个自由度。三个质点也有质心,就是这个三角形的重心(如果它们的质量各不相同的话,就要考虑加权),也是这个“平面杠杆”的支点。

比三个质点更多的就是四个质点了。你还有没有完?有完,有完,这就完了。多了一个质点,并不会多出来自由度,因为同时也增加了三个限制条件。所以,仍然是6个自由度。同理,对于刚体来说,不管是由多少个质点构成的,它也只有6个自由度——因为刚体中任意两点之间的距离都是固定不变的。

补充一点,质心的概念并不限于刚体,它仍然是所有这些质点构成的“大杠杆”的支点。rc=∑miri/∑mi

刚体有6个自由度,刚体中任意挑选的三个点就完全确定了刚体的空间位置,这6个自由度及其随时间的变化率就确定的刚体的状态,同样也是由牛顿定律决定的。

这6个自由度可以换个方式描述。质心有3个自由度,质心处自带一个右手坐标系xyz,三个轴的方向也有3个自由度:随便选个x轴,它有2个自由度;y轴必然位于和x轴向垂直的平面内,它的方向就只有1个自由度了;z轴也在这个平面内,而且和y轴平行,所以没有新的自由度。

除掉质心以外的3个自由度还可以用所谓的欧拉角(θ,φ,ψ)

来描述。欧拉角(θ,φ,ψ)描述了附着在刚体质心(其实可以是刚体上的任何一个位置)的固定坐标系xyz与某个特定参考系XYZ的相对取向。把两个右手坐标系xyz和XYZ的原点放在一起;xy和XY平面有一个交线(所谓的“节线”,Z×z决定其正方向N);Z和z轴之间的夹角就是θ;X和N轴之间的夹角就是φ;N和x轴之间的夹角就是ψ。可以看到,θ的取值范围是(0,π),而φ和ψ的取值范围都是(0,2π)。如果用个图来说明,就很容易看明白了,但是我偷个懒,大家随便找本《力学》看看就可以了(比如说朗道和栗弗席兹)。


好了,讲完自由度,接着讲刚体。

描述刚体的运动状态,就是描述这6个自由度及其随时间的变化率。由于牛顿第三定律(作用力等于反作用力,方向相反),问题得到了很大的简化。

首先是质心的运动。质心的3个自由度完全决定于外力(刚体内部的相互作用力完全抵消掉了),可以用质点动力学进行完整的描述。这样就只剩下3个自由度。换到质心坐标系,质心就是不动的原点,那么刚体就只能绕着这个点转动了。当然,除非全部外力之合力等于零,这个质心坐标系是非惯性系,需要考虑各种非惯性力的影响,但是,这些都是质点动力学已经解决了的问题。

现在考虑刚体的转动。转动总是相对于某个转动轴的(在任何瞬时都是如此,但是下一个时刻,这个转动轴就可能变了),最简单的转动是定轴转动,也就是说,转动轴保持不变。转动轴有2个自由度(转动轴的方向),所以,在定轴转动中,刚体就只剩下1个自由度了:刚体绕着转动轴转动的角度θ。角度随时间的变化就是角速度ω=θ˙。就像平动有动能一样,转动也有能量,这就是转动能。平动有惯性,转动也有惯性,简单的类比可以知道,质点绕轴转动的惯性就是mr2,其中r是质点到转动轴的距离。对于刚体来说,转动惯量就是I=∑mir2i=∫ρr2dV,其中ρdV就是某个小小区域的质量。

不行,我这样写下去就成了抄书了。抄书太烦人了,我还是争取不用公式吧。想看书的人,直接找本书看就行了,没必要看我写的这玩意儿。

转动惯量依赖于刚体的密度分布,也依赖于刚体转动轴的位置。最简单的位置就是转动轴通过刚体的质心,此时的转动惯量计算就是个简单的微积分习题,常见的刚体有条形、长方形、圆盘、圆柱、长方体、球体、甚至还有椭球体,其实都很简单的,自己去算算就行了。对于平板刚体(完全位于xy平面),还有个简单的公式Ix+Iy=Iz(垂直轴定理)。


你算出来此时的刚体转动惯量了,可是,如果转动轴变了,刚体的转动惯量也会改变,还得重新计算,真烦人。如果转动轴仍然通过质心,只是转动了个方向,那么没办法,你基本上只能重新算了。一个简单的例子:条形的转动惯量依赖于转动轴于条形的相对方向,而球体的转动惯量不依赖于转动轴的方向。如果新的转动轴平行于通过质心的转动轴,就有一个简单的计算公式I=Ic+md2

(平行轴定理)。需要注意的是,只有当起初的转动轴通过刚体质心的时候,才能应用平行轴定理。任意两个转动轴,即使它们是平行的,也不能从一个的转动惯量直接得到另外一个的信息。如果有三个平行的转动轴,知道了刚体相对于他们的转动惯量,就可以刚体沿着平行于此三个转动轴的任意转动轴的转动惯量,这是因为可以首先找到质心所在的平行轴。

原则上,你就可以算出刚体绕着任何轴的转动惯量了。但是,还有比定轴转动更复杂的转动,比如说,定点转动。这时候,只有一个点是固定不变的,所以有3个自由度。讲起来比较烦了,随便哪本书上都讲得很清楚,大家认真看就可以了。记住这么几点就可以了:

1、质心的运动只依赖于外力的合力

2、刚体的转动也可以表示为只依赖于外力的合力的形式:刚体的角动量的变化率,等于合外力作用于质心处、相对于参考点产生的力矩。

3、质心是非常特殊的,考虑它往往能简化问题。

4、刚体的动力学规律有所谓的质心运动定理、动能定理和转动定理。刚体作平面平行运动时,相对于任何转轴的角速度都是相同的;总能找到一个瞬时不变的点(瞬心),还有个所谓的瞬时轴定理。

上面讨论角动量和转动惯量的时候,采用的都是一些特例。真实的情况还会更复杂,比如说,角速度可以指向任意方向的,而定点转动的角动量应该用 L=∑ri×(mivi)=∑miri×(ω×ri)=∫?

来计算(这还不是最复杂的情况呢)。此时,角动量的方向和角速度的方向没有理由是一致的,转动惯量会以矩阵的形式表示,也有个高大上的名字叫张量(大家随便听听就是了)。我们通常也就是考虑有对称轴、对称面的特殊刚体,用这些特例来培养自己的物理图像和物理直觉,更复杂的问题,只能借助于一些微扰的方法,或者求助于计算机了——当然你也要对结果保持适当的警惕,用自己的简单模型来检验一下。


陀螺是最常见的刚体转动的例子,也是任何一本力学教材都要详细讲的东西,我就不献丑了。地球也是个大陀螺,有自转,因为它不是完美的球体,表面还有水的流动,太阳和月亮对地球有力矩的作用,所以地球还会有章动、有进动。地球自转的周期是1年;章动就是地球自转轴的微小变化,其周期大约是19年,与沙罗周期的18年很接近;地球进动的周期大约是2.6万年,这个太长了,平时很难注意到。

关于刚体,也就讲这么多了,再多就太烦人了,也超出了我们大学普通物理力学的范畴了。至于说刚体的平衡,不过就是合力为零以及合力矩为零,简单得很。刚体不过是质点又往前迈了一步,才6个自由度,我们接下来处理的流体力学、弹性力学,每个都有无穷多个自由度,以前的学生不也都挺下来了吗?

一句话,要坚持!

君当作磐石,妾当作蒲苇。蒲苇纫如丝,磐石无转移。

PS:说到地球的进动,其实,我们的先人是注意到这种现象的。百度百科词条“虞喜”说:

虞喜(281年—356年),字仲宁,余姚人。博学好古,尤喜天文历算。郡守诸葛恢巡视余姚,任为功曹。晋永嘉元年(307年)征为博士;咸和末举为贤良;咸康初,内史以其“博闻强识,钻坚研微”复荐为博士,皆不就。世为豪族,精天文、经学,兼擅谶纬诸学。咸和五年(330年),根据冬至日恒星的中天观测,发现岁差,认为太阳从第一年冬至到第二年冬至向西移过原先位置,推算出每50年退一度(现代测定为71年8个月)。《宋史·律历志》载:“虞喜云,尧时冬至日短星昴,今二千七百余年,乃东壁中,则知每岁渐差之所至。”

这还不是最奇特的,最奇特的是我在网上看到的某个解释。网客“泉畔人家”认为,如果虞喜关于“尧时冬至日短星昴”的说法是正确的,那么倒推回去的结论就是:尧帝的时代就不是公元前两千多年,而是公元前四五千年!也就是7000年前!

“泉畔人家”很久以前就提出这个说法,大概是在cchere网站里提出来的。最近他跑到知乎去了,他的论证在这里。我觉得很有道理:虞喜的数据是虞喜自己查阅古籍得到的;地球的进动周期是确定的;虞喜得到的岁差50年1度的结论,而不是70年一度的天文观测结果,那是因为他尧帝到他那个时代的时间是2700年。


当然,也还有另外两种可能性:古籍记录的不是尧帝时的天象,而是抄录更古老的典籍,记录的是更早时间的天象;再就是星座的名称变了,但是,中国古代对天文星象的观测记录是非常严肃的事情,这种错误发生的可能性并不大吧。

所以说,读书很简单,但是从书里读出自己的东西,才需要真本事。“泉畔人家”好像也没有什么高深的学历,也常常被当作“民科”看待,但是我觉得,他的看法还真是非常有道理的。佩服。

哦,对了,这位“泉畔人家”还有一个发现,他说,汉朝军队和罗马军队在两千年前交过手,汉军大胜,这就是著名的卡莱战役。他的推理在这里(更多细节在cchere,也是很多年以前的事情了)这个说法看得我将信将疑,但是不得不承认,这位老兄看书不是白看的,善于提问题、善于找证据,推理也很缜密,真是了不起的人才。

其实,读书真的没有什么了不起的,拿个博士壮士烈士的学位,也稀松平常。能够发现问题、解决问题,见前人所未见,想前人所未想,那才是真本事!

高手在民间!

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发表于 11-28-2016 12:00 PM 来自美国米群网手机版 | 显示全部楼层
感谢安吉拉分享~~~
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